设数列{an}满足2n2-(λ+an)n+32an=0(λ∈R.n∈N*),等比数列{bn}的首项为b1=2.公比为q.且满足3b3是8b1与b5的等差中项．(1)求数列{bn}的通项公式,(2)试确定λ的值.使得数列{an}为等差数列,(3)当{an}为等差数列时.对每个正整数k.在bk与bk+1之间插入ak个2.得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn} � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设数列{a_n}满足2n²-（λ+a_n）n+

a_n=0（λ∈R，n∈N^*）；等比数列{b_n}的首项为b₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3b₃是8b₁与b₅的等差中项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）试确定λ的值，使得数列{a_n}为等差数列；
（3）当{a_n}为等差数列时，对每个正整数k，在b_k与b_k+1之间插入a_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n} 的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，得到通项公式；
（2）由条件结合等差数列的性质，得到方程，解出λ，检验即可；
（3）由（1），（2），知b_n=2ⁿ，a_k=2k，由已知写出c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，讨论m=1，2，m≥3，求出T_m，2c_m+1，列出方程，整理，并讨论方程的解，从而得到结论．

解答： 解：（1）由题意6b₃=8b₁+b₅，则6q²=8+q⁴，解得q²=4或2，
由于q为正整数，则q=2，
又b₁=2，∴b_n=2ⁿ；
（2）由数列{a_n}为等差数列，数列{a_n}满足2n²-（λ+a_n）n+

a_n=0（λ∈R，n∈N^*）；
分别代入n=1，2，3，又a₁+a₃=2a₂，得2λ-4+12-2λ=2（16-4λ），
得λ=3，而当λ=3时，a_n=2n，
由a_n+1-a_n=2（常数）知此时数列{a_n}为等差数列，
故λ=3．
（3）由（1），（2），知b_n=2ⁿ，a_k=2k，
由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，
则当m=1时，T₁≠2c₂，不合题意，当m=2时，T₂=2c₃，适合题意．
当m≥3时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1一定不适合题意，
从而c_m+1必是数列{b_n}中的某一项b_k+1，
则T_m=b₁+2+2+b₂+2+2+2+2+b₃+2+…+2+b₄+2+…+b₅+2+…+b₆+…+b_k-1+2+…+b_k，
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（2+4+…+2k）
=2×（2^k-1）+k（2+2k）=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2b_k+1=2×2^k+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，∴2^k+1=k²+k，
∵2^k+1为奇数，k²+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1，
综上知，满足题意的正整数只有m=2．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项和求和，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．

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