Question

若S_n是公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁、S₂、S₄成等比数列．
（1）求数列S₁、S₂、S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n•2ⁿ}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），d=2a₁，由此能求出数列S₁、S₂、S₄的公比．
（2）由S₂=4，得2a₁+d=4，由d=2a₁，知a₁=1．d=2，由此能求出{a_n}的通项公式．
（3）an•2n=（2n-1）•2ⁿ，由此利用错位相减能求出数列{a_n•2ⁿ}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，由题意S22=S1•S4，
（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），∴d=2a₁，
设S₁、S₂、S₄的公比为q，
∴q=

S2

S1

=

2a1+d

a1

=

4a1

a1

=4 ．
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，
又d=2a₁，∴a₁=1．d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（3）an•2n=（2n-1）•2ⁿ，
Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=1•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(22-2n•2)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2（2ⁿ⁺¹-4）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题考查数列的公比的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．