Question

用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数．试分别求出符合下列条件的五位数的个数（最后结果用数字表达）：
（1）总的个数；    
（2）奇数；     
（3）能被6整除的数．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）分2步进行分析，由于0不能在首位则先分析首位数字，再分析其余的数字，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分3步进行分析，先分析末尾数字，再分析首位，最后分析中间的三位数字，分别求出每一步的情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分析可得能被6整除的数必须是偶数且各个数字之和为3的倍数，进而分2种情况讨论：①、末位为0，其余的4个数字必是1、2、4、5，②末位为2或4，再分0在不在五位数中2种情况讨论可得其情况数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答： 解：（1）根据题意，0不能在首位即万位，则万位有5种选法，
剩余的4位没有限制，在剩下5个数字中任选4个，进行全排列，即有A₅⁴=120种选法，
则共有5×120=600个五位数，
（2）先排个位，因为要求是奇数，则有3种选法，
再分析万位，除去已排在个位的数和0，还有4个数字可选，有4种选法，
最后中间3位，在剩下4个数字中任选3个，进行全排列，即有A₄³=24种选法，
则共有3×4×24=288个奇数，
（3）能被6整除的数必须是偶数且各个数字之和为3的倍数，分2种情况讨论，
①、末位为0，其余的4个数字必是1、2、4、5，进行全排列即可，有A₄⁴=24种情况，
②、末位为2或4，
若0不在五位数中，则有2×A₄⁴=48个五位数，
若0在五位数中，则有A₃²×A₃³=36个五位数，
此时共有48+36=84个五位数，
综合可得，共有24+84=108个五位数．

点评：本题考查排列、组合的运用，解题要注意整数的性质，如被6整除的整数的性质等．