Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），定义函数f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求出函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据周期公式求得ω．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数 的单调减区间．
（3）根据x的范围确定2x+

π

6

，根据正弦函数的性质可知2x+

π

6

的结果，进而根据三角函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，即函数的最小正周期为π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴函数单调减区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤f（x）≤3，
即函数在区间上的值域为[0，3]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题过程中注重运用了整体法结合三角函数的性质来解决问题．