Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线x²=2y在点（2，2）处的切线平行，则此双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  3

• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用导数求出切线的斜率，再根据双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线x²=2y在点（2，2）处的切线平行求出渐近线的斜率，最后根据离心率公式求出所求即可．

解答： 解：∵x²=2y，∴y=

1

2

x²，∴y′=x则y′|_x=2=2
∴抛物线x²=2y在点（2，2）处的切线斜率为2，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线x²=2y在点（2，2）处的切线平行，
∴

b

a

=2，
∴e=

c

a

=

1+( b a )2

=

5

．
故选：A．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及双曲线的简单性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．