Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为AD₁、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求直线AD₁与直线B₁C所成的角，
（3）求二面角B₁-D₁C-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明EF∥平面B₁D₁C，利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥D₁C；
（2）连接BC₁，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC₁∥AD₁，∴AD₁与直线B₁C所成的角即BC₁与直线B₁C所成的角；
（3）取D₁C的中点M，连接AM，B₁M，B₁A，证明∠AMB₁为二面角B₁-D₁C-A的平面角，计算用余弦定理，即可求得二面角B₁-D₁C-A的大小．

解答： （1）证明：连接AC，在△AD₁C中，
∵F为BD的中点，∴F为AC的中点
∵E为AD₁的中点，
∴EF∥D₁C
∵EF?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：连接BC₁，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BC₁∥AD₁，∴AD₁与直线B₁C所成的角即BC₁与直线B₁C所成的角，
∵正方形BCC₁B₁，∴BC₁⊥B₁C，∴直线AD₁与直线B₁C所成的角为90°．
（3）解：取D₁C的中点M，连接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C为正三角形，M为CD₁的中点
∴AM⊥D₁C
同理，在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁为二面角B₁-D₁C-A的平面角
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
∴AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B₁A=

2

，
∴cos∠AMB₁=

1

3

．

点评：本题考查线面平行，异面直线所成的角，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确作出异面直线所成的角，面面角，属于中档题．