Question

【题目】设函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试证明：函数有且仅有两个零点，且．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）先求函数的导数，，然后分情况讨论函数的单调性；

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，根据零点存在性定理讨论零点所在的区间，构造，判断在的单调性，得到,，再根据，根据函数的单调性证明

（1）函数定义域为，，

时，恒成立，故的解集为．

所以在上单调递减，在上单调递增．

时，有两个实根：-1，．

当时，，令，解得．

故在上单调递减，在，上单调递增；

当时，，令，解得．

故在上单调递减，在，上单调递增；

当时，恒成立，为上的增函数．

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增．

故．

又，．

由零点存在性定理知，函数仅有两个零点，．

令，有．

．

时，，函数单调递增，所以．

即，又，所以．

，函数在上单调递减，所以．

所以．