Question

3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每一辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的函数关系是y=-3（x-6）²+33（x∈N^*）．
（Ⅰ）当营运年数x在什么范围内时，每辆客车营运的总利润不少于21万元？
（Ⅱ）当每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大？
（注：年平均利润=$\frac{营运总利润}{营运年数}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得-3（x-6）²+33≥21，运用二次不等式的解法，即可得到x的范围；
（Ⅱ）欲使营运年平均利润最大，即求$\frac{y}{x}$的最大值，故先表示出此式，再结合基本不等式即可求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得-3（x-6）²+33≥21，即为（x-6）2≤4，解得4≤x≤8，
则营运年数x∈[4，8]（x∈N^*）．
（Ⅱ）每辆客车营运年平均利润为$\frac{y}{x}$=$\frac{-3（x-6）^{2}+33}{x}$=-3（x+$\frac{25}{x}$）+36，
由x＞0，可得x+$\frac{25}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{25}{x}}$=10，
当且仅当x=$\frac{25}{x}$时等号成立．解得x=5．
故$\frac{y}{x}$≤-3×10+36=6，
即每辆客车营运5年，可使其营运年平均利润最大．

点评 本小题主要考查二次函数的性质、基本不等式在最值问题中的应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．