Question

5．已知f（n）=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n，φ（n）=$\frac{1}{2n}$，g（n）=n-$\sqrt{{n}^{2}-1}$，n∈N^*，max|a，b|=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，A=max|f（n），g（n）|，B=max|A，φ（n）|，求B．

Answer 1

分析 利用分子有理化可得f（n）=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}$，φ（n）=$\frac{1}{2n}$，g（n）=n-$\sqrt{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}-1}}$，n∈N^*，从而比较大小即可．

解答 解：f（n）=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}$，n∈N^*，
φ（n）=$\frac{1}{2n}$，n∈N^*，
g（n）=n-$\sqrt{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}-1}}$，n∈N^*，
∵$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}$＜$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}-1}}$，
∴A=max|f（n），g（n）|=g（n），
∵$\frac{1}{2n}$＜$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}-1}}$，
∴B=max|A，φ（n）|=g（n）=$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}-1}}$=n-$\sqrt{{n}^{2}-1}$．

点评 本题考查了分子有理化的应用及函数比较大小的应用，属于中档题．