Question

14．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ．
（1）若点C为OA的中点，试求θ的正弦值．
（2）求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）在△POC中，根据∠OCP=$\frac{2π}{3}$，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值，由正弦定理即可求得θ的正弦值．
（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OCsin$\frac{2π}{3}$，利用两角和差的正弦公式化为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sin2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得θ=$\frac{π}{6}$时，S（θ）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解法二：利用余弦定理求得OC²+PC²+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以S=$\frac{1}{2}$CP•OCsin $\frac{2π}{3}$≤$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．

解答 解：（1）在△POC中，∠OCP=$\frac{2π}{3}$，OP=2，OC=1，
由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos$\frac{2π}{3}$得PC²+PC-3=0，解得PC=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$．
由正弦定理可得：sinθ$\frac{CPsin∠PCO}{OP}=\frac{（\frac{-1+\sqrt{13}}{2}）×sin\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{8}$．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ，
在△POC中，由正弦定理得 $\frac{OP}{sin∠PCO}=\frac{CP}{sinθ}$，
即 $\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{CP}{sinθ}$，∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ．
又 $\frac{OC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}=\frac{CP}{sin\frac{2π}{3}}$，∴OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）．
记△POC的面积为S（θ），则S（θ）=$\frac{1}{2}$CP•OCsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）=2sinθcosθ-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin²θ=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sin2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$时，S（θ）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解法二：cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{O{C}^{2}+P{C}^{2}-4}{2OC•PC}$=-$\frac{1}{2}$，即OC²+PC²+OC•PC=4．
又OC²+PC²+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，
所以S=$\frac{1}{2}$CP•OCsin $\frac{2π}{3}$≤$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OC=PC，
∴θ=$\frac{π}{6}$时，S（θ）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．