Question

2．如图，已知A，B，C三点不共线．
（1）若点D在线段BC上，且$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，若存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，求λ，μ的值；
（2）若点D在直线BC上，且存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，求λ+μ的值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的基本定理，解析向量加法的法则即可得到结论．
（2）根据向量的基本定理进行表示即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
由平面向量基本定理可得λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$．              …（6分）
或作平行四边形，用几何方法求之．
（2）设$\overrightarrow{BD}$=m$\overrightarrow{BC}$，则
$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+m （$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-m）$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$．
由平面向量基本定理可得λ=1-m，μ=m．
∴λ+μ=1-m+m=1．
说明：直接写出λ+μ=1给（2分）            …（12分）

点评 本题主要考查向量基本定理的应用，根据向量的加法法则进行分解是解决本题的关键．