Question

14．下列各函数中，最小值为2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$
• D． y=5^x+5^-x

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．

解答 解：选项A，x可能为负数，不满足最小值为2，故错误；
选项B，当且仅当sinx=1时才会使最小值为2，而x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx取不到1，故错误；
选项C，y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=$\frac{{x}^{2}+2+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2，当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
即x²+2=1即x²=-1时取等号，显然任意实数x不满足x²=-1，故错误；
选项D，由基本不等式可得y=5^x+5^-x≥2$\sqrt{{5}^{x}•{5}^{-x}}$=2，当且仅当5^x=5^-x≥x=0时取等号，故正确．
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．