Question

3．如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，AB=$\sqrt{2}$，PA=BC=1，F是BC的中点．
（1）求证：DA⊥平面PAC；
（2）在线段PD上找一点G，使CG∥面PAF，说明点G位置并求三棱锥A-CDG的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AD，结合AD⊥AC即可得出AD⊥平面PAC；
（2）取PD的中点G，PA的中点E，连结CG，EG，EF．则可证四边形EGCF为平行四边形，故而CG∥EF，从而CG∥平面PAF，利用V_A-CDG=V_G-ACD求出棱锥的体积．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，即AD⊥AC．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴AD⊥平面PAC．
（2）取PD的中点G，PA的中点E，连结CG，EG，EF．
∵EG是△PAD的中位线，
∴EG∥A，EG=$\frac{1}{2}$AD，
又F为BC的中点，BC∥AD，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD，CF∥AD．
∴EG∥CF，EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴CG∥EF，又EF?平面PAF，CG?平面PAF，
∴CG∥平面PAF．
∴当G为PD中点时，CG∥平面PAF．
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AC⊥BC，∴AC=1，
∴V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∵G是PD的中点，
∴V_A-CDG=V_G-ACD=$\frac{1}{2}$V_P-ACD=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．