Question

10．已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，且a＞$\frac{1}{2}$．
（I）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是-a²，求a的值．

Answer 1

分析 （I）首先对f（x）求导，且由f'（3）=0，即解得a=3．由题意知：f（0）=0，f'（0）=18，可写成切线方程；
（II）对参数a分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最小值．

解答 解：（I）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
由f'（3）=0，即解得a=3．
由题意知：f（0）=0，f'（0）=18．
所以，y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=18x．
（II）由（1）知，f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
①当a=1时，f'（x）=6（x-1）（x-1）≥0，
∴f（x）_min=f（0）=0≠-a²．
故a=1不合题意；
②当a＞1时，令f'（x）＞0，则有x＞a或x＜1，令f'（x）＜0，则1＜x＜a
∴f（x）在[0，1]上递增，在[1，a]上递减，在[a，2a]上递增；
∴f（x）在[0，2a]上的最小值为f（0）或f（a），
∵f（0）=0≠-a²，由f（a）=-a²
解得a=4；
③当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，令f'（x）＞0，则有x＞1或x＜a，令f'（x）＜0，则a＜x＜1
∴f（x）在[0，a]上递增，在[a，1]上递减，在[1，2a]上递增
∴f（x）_min=f（1）=-a²
解得a=$\frac{-3±\sqrt{13}}{2}$，与$\frac{1}{2}$＜a＜1矛盾．
综上所述，符合条件的a的值为4．

点评 本题主要考查了利用导数求切线斜率与方程，利用导数判断函数的单调性等知识点的，属中等题．