Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b+c的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理，正弦函数的图象和性质即可得解b+c的取值范围．

解答 解：在△ABC中，∵b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A是三角形内角，
∴A=60°，
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{c}{sin（120°-B）}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos（π-B）＞0，
∴可得：cosB＜0，B为钝角，
∴b+c=sinB+sin（120°-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+30°），
∵B∈（90°，120°），可得：B+30°∈（120°，150°），可得：sin（B+30°）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴b+c=$\sqrt{3}$sin（B+30°）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量在解三角形中的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．