【题目】对于函数,定义f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*),已知偶函数g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),g(1)=0,当x>0且x≠1时,g(x)=f2018(x).
(1)求f2(x),f3(x),f4(x),f2018(x);
(2)求出函数y=g(x)的解析式;
(3)若存在实数a、b(a<b),使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma],求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2)g(x)= ;(3)(﹣,0).
【解析】
(1)根据函数关系代入计算进行求解即可;(2)由偶函数的定义,计算可得所求解析式;(3)根据函数奇偶性和单调性的性质,结合函数的值域关系进行求解即可.
(1)因为函数
定义f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*),f1(x)=,
f2(x)=f[f1(x)]= =,(x≠0且x≠1),
f3(x)=f[f2(x)]= =x,(x≠0且x≠1),
f4(x)=f[f3(x)]= ,(x≠0且x≠1),
故对任意的n∈N,有f3n+i(x)=fi(x)(i=2,3,4),
于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1﹣,(x≠0且x≠1);
(2)当x>0且x≠1时,g(x)=f2018(x)=1﹣,
又g(1)=0,
由g(x)为偶函数,当x<0时,﹣x>0,g(x)=g(﹣x)=1+,
可得g(x)=;
(3)由于y=g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
又a<b,mb<ma,可知a与b同号,且m<0,
进而g(x)在[a,b]递减,且a<b<0,
当a,b∈(0,1)时,g(x)=1﹣为增函数,
故,即m==,
得a﹣1=b﹣1,即a=b,与a<b矛盾,∴此时a,b不存在;
函数y=g(x)的图象,如图所示.由题意,有,
故a,b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根,
即方程mx2﹣x﹣1=0在(﹣∞,0)上有两个不相等的实根,
于是,解得﹣<m<0.
综合上述,得实数m的取值范围为(﹣,0).
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【题目】已知函数,任取,记函数在区间上的最大值为最小值为记. 则关于函数有如下结论:
①函数为偶函数;
②函数的值域为;
③函数的周期为2;
④函数的单调增区间为.
其中正确的结论有____________.(填上所有正确的结论序号)
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【题目】司机在开机动车时使用手机是违法行为,会存在严重的安全隐患,危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况,交警部门调查了100名机动车司机,得到以下统计:在55名男性司机中,开车时使用手机的有40人,开车时不使用手机的有15人;在45名女性司机中,开车时使用手机的有20人,开车时不使用手机的有25人.
(1)完成下面的2×2列联表,并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关;
(2)以上述的样本数据来估计总体,现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆,记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X,若每次抽检的结果都相互独立,求X的分布列和数学期望E(X).
参考公式与数据:,其中n=a+b+c+d.
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【题目】平面上给定及点,构造点列,,,…,使得为点绕中心顺时针旋转时所到达的位置,而和为点和分别绕中心和顺时针旋转时所到达的位置,.若对某个,有,试求的各个内角的度数及三个顶点,,的排列方向.
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【题目】如图,是由两个全等的菱形和组成的空间图形,,∠BAF=∠ECD=60°.
(1)求证:;
(2)如果二面角B-EF-D的平面角为60°,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】下列说法错误的是( )(多选)
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体
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【题目】[2019·武邑中学]已知关于的一元二次方程,
(1)若一枚骰子掷两次所得点数分别是,,求方程有两根的概率;
(2)若,,求方程没有实根的概率.
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