Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，∠APC是直角，且平面PAC⊥平面ABCD，点E是PA的中点．
（1）证明：AP⊥平面BDE；
（2）若AP=

2

，求直线CD与平面BDE所成的线面角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，交BD于点F，连结FE，由已知得FE∥PC，AP⊥FE，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明AP⊥平面BDE．
（2）由已知得AE⊥面BDE，∠ABE是直线AB与平面BDE所成角，从而直线CD与平面BDE所成角的大于等于∠ABE，由此能求出直线CD与平面BDE所成角的正弦值．

解答： （1）证明：连结AC，交BD于点F，连结FE，
∵E是PA的中点，∴FE∥PC，
∵AP⊥AC，∴AP⊥FE，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又∵平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面 ABCD=AC，
由面面垂直的性质知BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP，又AP⊥FE，
∴AP⊥平面BDE．
（2）解：∵AP⊥平面BDE，∴AE⊥面BDE，
∴∠ABE是直线AB与平面BDE所成角，
又∵CD∥AB，
∴直线CD与平面BDE所成角的大于等于∠ABE，
∵AE=

1

2

AP=

2

2

，AB=2，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

2 2

2

=

2

4

，
∴直线CD与平面BDE所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．