Question

已知定点A（m，0），圆x²+y²=1上有一动点Q，若AQ的中点为P．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M，N两点，是否存在以MN为直径的圆经过点A？若存在，求出A；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）运用代入法求轨迹方程．设P（x，y），Q（x₀，y₀），由中点坐标公式，再代入圆的方程，化简即可；
（2）设直线方程为y=

3

x，代入方程C，得到关于x的二次方程，由韦达定理，注意判别式大于0，若存在以MN为直径的圆经过点A．则得到AM，AN垂直，由斜率之积为-1，得到方程，再化简整理，得到m的方程，解出即可判断．

解答： 解：（1）设P（x，y），Q（x₀，y₀），则

x0=2x-m y0=2y

，
代入圆的方程x²+y²=1，得（2x-m）²+（2y）²=1，
即动点P的轨迹方程C（x-

m

2

）²+y²=

1

4

．
（2）存在．
设直线方程为y=

3

x，代入方程C，得16x²-4mx+m²-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

△=16m2-64(m2-1)＞0 x1+x2= m 4 x1x2= m2-1 16

，
若存在以MN为直径的圆经过点A．则

y1

x1-m

•

y2

x2-m

=-1．
即y₁y₂+x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0，而y₁y₂=3x₁x₂，
∴

m2-1

4

-

m2

4

+m²=0，解得m=±

1

2

，
当m=±

1

2

，△＞0成立，故存在点A（±

1

2

，0）．

点评：本题考查轨迹方程的求法：代入法，考查直线与圆的位置关系，同时考查直线方程和圆的方程联立，运用韦达定理，以及圆中直径所对的圆周角为直角，考查运算化简能力，属于中档题．