Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）．

Answer 1

分析：（1）f（x+2）=-f（x）⇒f（x+4）=-f（x+2）=f（x），从而可证f（x）是周期函数；
（2）x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，利用x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，可求得x∈[-2，0]时，f（x）=x²+2x；同理可求得x∈[2，4]时f（x）的解析式；
（3）易求f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=f（0）=0，f（2013）+f（2014）=f（1）+f（2）=1，从而可求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值．

解答：解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．                             
∴f（x）是周期为4的周期函数．                           
（2）当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
由已知得：f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²，
又f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x²，
∴f（x）=x²+2x；
又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4），
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
∴x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8．
（3）由（1）（2）知f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=f（0）=0，
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=…=f（2009）+f（2010）+f（2011）+f（2012）=0，
又f（2013）+f（2014）=f（1）+f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的周期性、某区间上函数解析式的求法，突出转化思想的考查，属于中档题．