Question

已知圆C1：x2+y2+2x-2y-2=0，圆C2：x2+y2-2x=0，直线l：mx+y+m=0（m∈R），设圆C₁与圆C₂相交于M，N
（1）求线段MN的长； 
（2）已知点Q为圆C₁上的动点，求S_△QMN的最大值；
（3）已知动点B（0，t），C（0，t-4）（0＜t＜4），直线PB，PC为圆C₂的切线，点P在y轴右边，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，即可求得MN的长；
（2）求出Q到直线MN距离的最大值，即可求得S_△QMN的最大值；
（3）设P（x₀，y₀）（x₀＞0），直线PB的方程为y=

y0-t

x 0

x+t，即（y₀-t）x-x₀y+x₀t=0，由直线PB与圆M相切，可得(x0-2)t2+2y0t=x0，同理(x0-2)(t-4)2+2y0(t-4)=x0，由此可得x0=

2

1+ 1 t(t-4)

，根据0＜t＜4，可得x0≥

8

3

，从而可求△PBC面积的最小值．

解答：解：（1）∵直线MN方程：2x-y-1=0
∴dc1→lMN=

|-2-1-1|

4+1

=

4

5

，
∴MN=2

22-( 4 5 )2

=

4

5

5

．…（4分）
（2）∵(dQ→lMN)max=dC1→MN+2=

4

5

+2，
∴(S△QMN)max=

1

2

MN•(dQ→lMN)max=

1

2

•

4

5

5

•(

4

5

+2)=

8

5

+

4

5

5

．…（8分）
（3）设P（x₀，y₀）（x₀＞0），直线PB的方程为y=

y0-t

x 0

x+t，即（y₀-t）x-x₀y+x₀t=0．
由直线PB与圆M相切，得 

|y0-t+x0t|

(y0-t)2+x02

=1，
化简得(x0-2)t2+2y0t=x0．（1）…（10分）
同理由直线PC与圆M相切，得  (x0-2)(t-4)2+2y0(t-4)=x0．（2）
由式（1），得  2y0=

x0-(x0-2)t2

t

，…（12分）
由式（2），得2y0=

x0-(x0-2)(t-4)2

t-4

，
从而x0=

2

1+ 1 t(t-4)

．
又由0＜t＜4，∴-4≤t（t-4）＜0
∴

1

t(t-4)

≤-

1

4

，∴x0≥

8

3

△PBC面积为

1

2

(t-t+4)x0=2x₀，∴△PBC面积的最小值

16

3

…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程，考查三角形面积的计算，确定P的横坐标的范围是关键．