Question

【题目】已知四棱锥中，，，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）根据勾股定理得到，证明平面得到答案.

（2）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.

（1）因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，而平面，故．

（2）取的中点，因为，故，

因为平面平面，平面平面，故平面．

以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．

不妨设，则，，，．

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，

，观察图形知二面角为钝二面角，

则二面角的余弦值．