Question

【题目】设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 .当 时， .
（1）求证： 是周期函数；
（2）当 时，求 的解析式；
（3）计算 .

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ， 是周期为 的周期函数．
（2）解：当 时， ，由已知得 ．

又 是奇函数， ， ，

又当 时， ， ，

又 是周期为 的周期函数，

，

从而求得 时， ．

（3）解： ，又 是周期为 的周期函数，

又 ，

．

【解析】（1）根据题意利用函数的周期即可求出结果。（2）由题意结合函数的奇偶性即可求出 f ( x 4 )的解析式再放假函数的周期为4故可得到当 x ∈ [ 2 , 4 ] 时f ( x )的解析式。（3）利用函数的周期递推即可得出结果。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．