Question

【题目】如图，平面，，，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知且 ，又AE∥BD且，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，， ，．求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角的大小．（Ⅲ）由面CDE的法向量，，利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．

试题解析：解：⑴取中点点，连接、，

∵、分别为、中点，∴且，又且．

∴且，∴四边形为平行四边形，则，

∵平面，，∴平面．

又∵平面，∴平面平面，

∵为中点，且，∴，∴平面，∴平面．

⑵取的中点和的中点，

分别以、、所在直线为、、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，

，， 设面的法向量，

则，取，

取面的法向量，

由，

故二面角的大小为．

⑶由⑵，面的法向量，，

则点到平面的距离， ．.