Question

【题目】已知点P是抛物线C:上任意一点，过点P作直线PH⊥x轴，点H为垂足.点M是直线PH上一点，且在抛物线的内部，直线l过点M交抛物线C于A、B两点，且点M是线段AB的中点.

（1）证明：直线l平行于抛物线C在点P处切线；

（2）若|PM|=, 当点P在抛物线C上运动时，△PAB的面积如何变化？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的面积为定值.

【解析】

（1）设点，则，易知，从而得，利用求导可以得切线斜率，从而得证；

（2）由，得，从而可得直线，与抛物线联立得，再由，利用韦达定理求解即可.

（1）证明：设点，

则，，

由，得，

故，即抛物线在点处的切线的斜率为．

又直线的斜率，即，

所以直线平行于抛物线在点处的切线．

（2）解：由，得，

于是直线，即．

联立直线与抛物线得消去y得，

∴，

∴，

故的面积为定值．