【题目】已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)设函数G(x)=若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
【答案】(1)g(x)=x2-lnx(2)
【解析】(1)g′(x)=2bx+ 由条件,得即∴b=,c=-1,
∴g(x)=x2-lnx.
(2)G(x)=
当x>0时,G(x)=g(x)=x2-lnx,g′(x)=x-=.
令g′(x)=0,得x=1,且当x∈(0,1),g′(x)<0,x∈(1,+∞),g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上有极小值,即最小值为g(1)=.
当x≤0时,G(x)=f(x)=ax3-3ax,f′(x)=3ax2-3a=3a(x+1)(x-1).
令f′(x)=0,得x=-1.①若a=0,方程G(x)=a2不可能有四个解;
②若a<0时,当x∈(-∞,-1),f′(x)<0,当x∈(-1,0),f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0]上有极小值,即最小值为f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图①所示,从图象可以看出方程G(x)=a2不可能有四个解;
,①) ,②)
③若a>0时,当x∈(-∞,-1),f′(x)>0,当x∈(-1,0),f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0]上有极大值,即最大值为f(-1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图②所示.从图象可以看出方程G(x)=a2若有四个解,必须<a2<2a,∴<a<2.综上所述,满足条件的实数a的取值范围是
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【题目】如图所示, 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 上点 处有一个水声监测点,另两个监测点 分别在 的正东方向 处和 处.某时刻,监测点 收到发自目标 的一个声波, 后监测点 后监测点 相继收到这一信号,在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是 .
(1)设 到 的距离为 ,用 分别表示 到 的距离,并求 的值;
(2)求目标 的海防警戒线 的距离(精确到 ).
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【题目】设函数(,且)是定义域为R的奇函数.
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围;
(3)若函数的图象过点,是否存在正数m(),使函数在上的最大值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】山东省于2015年设立了水下考古研究中心,以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站,分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解,然后再选择合适的时机下水探摸、打捞,省水下考古中心在一次水下考古活动中,某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业,其用氧量包含以下三个方面:
①下潜平均速度为米/分钟,每分钟的用氧量为升;
②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟,每分钟用氧量为0.4升;
③返回水面时,平均速度为米/分钟,每分钟用氧量为0.32升.
潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.
(Ⅰ)如果水底作业时间是分钟,将表示为的函数;
(Ⅱ)若,水底作业时间为20分钟,求总用氧量的取值范围.
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【题目】如图,棱长为1的正方体中,点P是线段上的动点.当在平面,平面,平面ABCD上的正投影都为三角形时,将它们的面积分别记为,,.
(1)当时,________(用“>”或“=”或“<”填空);
(2)的最大值为________.
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【题目】从某网站的程序员中随机抽取名统计其年龄数据如下表:
年龄 | 23 | 26 | 27 | 30 | 32 | 34 | 38 |
人数 | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 |
(1)求这名程序员的平均年龄及年龄的众数、中位数;
(2)若这名程序员中年龄不超过岁,且学历是研究生及其以上有人,岁以上且学历是本科及其以下有人,完成下面的列联表,并判断是否有%的把握认为该网站程序员的学历与年龄有关.
年龄≤30 | 年龄>30 | |
学历研究生及其以上 | ||
学历本科及其以下 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】已知点P是抛物线C:上任意一点,过点P作直线PH⊥x轴,点H为垂足.点M是直线PH上一点,且在抛物线的内部,直线l过点M交抛物线C于A、B两点,且点M是线段AB的中点.
(1)证明:直线l平行于抛物线C在点P处切线;
(2)若|PM|=, 当点P在抛物线C上运动时,△PAB的面积如何变化?
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【题目】如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,的最大值是,的最小值是,且满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设线段的中点为,线段的垂直平分线与轴、轴分别交于,两点,是坐标原点,记的面积为,的面积为,求的取值范围.
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