【题目】设函数(
,且
)是定义域为R的奇函数.
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式
对一切
恒成立的实数k的取值范围;
(3)若函数的图象过点
,是否存在正数m(
),使函数
在
上的最大值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),(2)
,(3)不存在,理由见解析
【解析】
(1)结合函数奇偶性,利用可求;
(2)根据可得
,结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式,然后进行求解;
(3)根据函数图象过点可得
,利用换元法进行求解.
(1)是定义域为R的奇函数,
,
;经检验知符合题意.
(2)由(1)得,
得
,又
,
由得
,
为奇函数,
,
,
为R上的增函数,
对一切
恒成立,即
对一切
恒成立,
故解得
.
(3)函数的图象过点
,
,假设存在正数m,且
符合题意,
由得
,
设则
,
,
,记
,
∵函数在
上的最大值为0,
∴(i)若时,则函数
在
有最小值为1,
由于对称轴,
,不合题意.
(ii)若时,则函数
在
上恒成立,且最大值为1,最小值大于0,
①,
而此时,又
,
故在
无意义,
所以应舍去;
②m无解,
综上所述:故不存在正数m,使函数在
上的最大值为0.
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【题目】如图在四面体中,
是边长为2的等边三角形,
为直角三角形,其中
为直角顶点,
.
分别是线段
上的动点,且四边形
为平行四边形.
(1)求证:平面
,
平面
;
(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中,线段
在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积;
(3)设,且
为等腰三角形,当
为何值时,多面体
的体积恰好为
?
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【题目】如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B以及CD的中点P处,已知AB=20km,CB=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD内(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为km.
(I)设,将
表示成
的函数关系式;
(II)确定污水处理厂的位置,使三条排污管道的总长度最短,并求出最短值.
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【题目】已知椭圆:
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线
:
与椭圆
有且只有一个公共点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点
的坐标;
(Ⅱ)设是坐标原点,直线
平行于
,与椭圆
交于不同的两点
、
,且与直线
交于点
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
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【题目】已知四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ADC=90°,DC=AB,F,M分别是线段PC,PB的中点.
(1)在线段AB上找出一点N,使得平面CMN∥平面PAD,并给出证明过程;
(2)若PA=AB,DC=
AD,求二面角C—AF—D的余弦值.
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【题目】依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示:依据济南的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示.
(I)以此频率作为概率,试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率;
(Ⅱ)黄河济南段某企业,在3月份,若没受1、2级灾害影响,利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响则亏损1000万元.
现此企业有如下三种应对方案:
试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)设函数G(x)=若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
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