Question

5．已知函数f（x）=lnx-x²+x
（1）求函数f（x）在点x=2处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）证明：当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）令g（x）=f（x）-[（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1]，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，（x＞0），
故f′（2）=-$\frac{5}{2}$，f（2）=ln2-2，
故切线方程是：y-（ln2-2）=-$\frac{5}{2}$（x-2），
整理得：y=-$\frac{5}{2}$x+3+ln2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{x}$（x＞0），
由f'（x）＜0，得2x²-x-1＞0．又x＞0，所以x＞1，
所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）；
故f（x）_极大值=f（1）=0，无最小值；
（3）令g（x）=f（x）-[（$\frac{a}{2}$-1）x²+ax-1]=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
因为a≥2，所以g′（x）=-$\frac{a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，
令g'（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，所以当x∈（0，$\frac{1}{a}$），g′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g'（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，$\frac{1}{a}$）是增函数，在x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）是减函数，
故函数g（x）的最大值为g（$\frac{1}{a}$）=ln（$\frac{1}{a}$）-$\frac{1}{2}$a×（$\frac{1}{a}$）²+（1-a）×（$\frac{1}{a}$）+1=$\frac{1}{2a}$-lna，
令h（a）=（$\frac{1}{2a}$）-lna，因为h（2）=$\frac{1}{4}$-ln2＜0，
又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，
所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，
所以关于x的不等式恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及换元思想，考查不等式的证明，是一道中档题．