Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{{n^2}+3n}}{2}$，正项等比数列{b_n}中，b₁+b₃=$\frac{20}{3}$，b₂+b₄=$\frac{20}{9}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n是a_n与b_n+1的等比中项，求数列{c_n²}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{{{n^2}+3n}}{2}$求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n，验证首项后可得数列{a_n}的通项公式．设出等比数列的公比，由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由c_n是a_n与b_n+1的等比中项，可得数列{c_n²}的通项，然后利用错位相减法求得数列{c_n²}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=$\frac{{{n^2}+3n}}{2}$，得a₁=S₁=2．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{{n}^{2}+3n}{2}-\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{2}$=n+1．
验证n=1上式成立，
∴a_n=n+1；
设等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），由b₁+b₃=$\frac{20}{3}$，b₂+b₄=$\frac{20}{9}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}=\frac{20}{3}}\\{{b}_{1}q+{b}_{1}{q}^{3}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，解得${b}_{1}=6，q=\frac{1}{3}$．
∴${b}_{n}=6×（\frac{1}{3}）^{n-1}=2×（\frac{1}{3}）^{n-2}$．
（Ⅱ）∵c_n是a_n与b_n+1的等比中项，
∴${{c}_{n}}^{2}=2（n+1）•（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
令R_n=2×$（\frac{1}{3}）^{0}+3×（\frac{1}{3}）^{1}+4×（\frac{1}{3}）^{2}+…+n×（\frac{1}{3}）^{n-2}$$+（n+1）×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
则$\frac{1}{3}{R}_{n}=2×（\frac{1}{3}）^{1}+3×（\frac{1}{3}）^{2}+…+n×（\frac{1}{3}）^{n-1}+（n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴$\frac{2}{3}{R}_{n}=2+\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n-1}-（n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$=$2+\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-（n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$
=$\frac{5}{2}-（n+\frac{5}{2}）×\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴${R}_{n}=\frac{15}{4}-（\frac{3}{2}n+\frac{15}{4}）×\frac{1}{{3}^{n}}$，
则T_n=$2{R}_{n}=\frac{15}{2}-（3n+\frac{15}{2}）×\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的前n项和，是中档题．