Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y=$\frac{1}{2}x、y=-\frac{1}{2}$x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：b=1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得：a²即可得出．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1-2k}，\frac{m}{1-2k}）$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{-2m}{1+2k}，\frac{m}{1+2k}）$．又点A在第一象限，点B在第二象限，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m}{1-2k}＞0}\\{\frac{-2m}{1+2k}＜0}\end{array}\right.$，解得1-4k²＞0．利用两点之间的距离公式可得|AB|=$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$．原点到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，可得m²=1-4k²，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用根与系数的关系可得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．利用数量积运算性质可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂．

解答 解：（I）由题意可得：b=1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得：a²=2．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1-2k}，\frac{m}{1-2k}）$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{-2m}{1+2k}，\frac{m}{1+2k}）$．
又点A在第一象限，点B在第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m}{1-2k}＞0}\\{\frac{-2m}{1+2k}＜0}\end{array}\right.$，化为：m²（1-4k²）＞0，而m²＞0，∴1-4k²＞0．
又|AB|=$\sqrt{（\frac{2m}{1-2k}+\frac{2m}{1+2k}）^{2}+（\frac{m}{1-2k}-\frac{m}{1+2k}）^{2}}$=$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$．原点到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，为△OMN的底边AB上的高．

∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$$\frac{2{m}^{2}}{1-4{k}^{2}}$=2，∴m²=1-4k²，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=48k²＞0，∴k≠0．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$-7．
∵$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{4}$，∴（1+2k²）∈$（1，\frac{3}{2}）$．∴$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$∈$（\frac{16}{3}，8）$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$∈$（-\frac{5}{3}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程方程及其性质、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．