Question

11．已知点N（-1，0），F（1，0）为平面直角坐标系内两定点，点M是以N为圆心，4为半径的圆上任意一点，线段MF的垂直平分线交于MN于点R．
（1）点R的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；
（2）抛物线C的顶点在坐标原点，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，与曲线E交于P、Q两点，请问：是否存在直线l使A，F，Q是线段PB的四等分点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求曲线E的方程；
（2）假设存在直线l使A，F，Q是线段PB的四等分点，则|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|．求出直线方程，再进行验证，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，|RM|=|RF|，
∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4＞|NF|，
∴R的轨迹是以N，F为焦点的椭圆，a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）抛物线C的顶点在坐标原点，F为其焦点，抛物线的方程为y²=4x，
假设存在直线l使A，F，Q是线段PB的四等分点，则|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|．
直线l斜率显然垂直，设方程为y=k（x-1）（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线代入抛物线方程，整理可得ky²-4y-4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$①，y₁y₂=-4，②
∵|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|，∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=-2③，
∴由①②③解得k=±2$\sqrt{2}$．
k=2$\sqrt{2}$时，直线l的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-1），解得A（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），B（2，2$\sqrt{2}$）．
直线与椭圆方程联立解得P（$\frac{2}{5}$，-$\frac{6\sqrt{2}}{5}$），A（$\frac{10}{7}$，$\frac{6\sqrt{2}}{7}$），
∵y_B≠2y_Q，∴Q不是FB的中点，即A，F，Q不是线段PB的四等分点，
同理可得k=-2$\sqrt{2}$时，A，F，Q不是线段PB的四等分点，
∴不存在直线l使A，F，Q是线段PB的四等分点．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，考查反证法，属于中档题．