Question

19．已知圆F₁：（x+1）²+y²=9，圆F₂：（x-1）²+y²=1，动圆P与圆F₁内切，与圆F₂外．O为坐标原点．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）直线l：y=kx-2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆P的半径为r，由圆与圆的位置关系分析可得|PF₂|+|PF₁|=4＞|F₁F₂|，由椭圆的定义分析可得轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹C的方程，即可得答案；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l与椭圆C的方程可得（3+4k²）x²-16kx+4=0，利用根与系数的关系可以表示|AB|的值，进而可以表示△OAB面积，由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，
依题意有|PF₁|=3-r，|PF₂|=1+r，|PF₂|+|PF₁|=4＞|F₁F₂|．
所以轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
且c=1，a=2，所以$b=\sqrt{3}$，
当P点坐标为椭圆右顶点时，r=0不符合题意，舍去．
所以轨迹C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{x≠2}）$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线l与椭圆C的方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-16kx+4=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，
△=16（12k²-3）＞0，得${k^2}＞\frac{1}{4}$，
设原点到直线AB的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{4{k^2}-1}}}{{3+4{k^2}}}$，
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{4{k^2}-1}}}{{3+4{k^2}}}$，
令$\sqrt{4{k^2}-1}=t，（{t＞0}）$，则4k²=1+t²，
${S_{△AOB}}=\frac{{4\sqrt{3}t}}{{{t^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{t+\frac{4}{t}}}≤\frac{{4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}}=\sqrt{3}$，当且仅当t=2时，等号成立，
即当$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$时，△OAB面积取得最大值$\sqrt{3}$，此时直线方程为$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x-2$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．