Question

9．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 先根据O是△ABC的内心，求出∠BOC=120°，再根据余弦定理和基本不等式求出OC•OB≤$\frac{1}{3}$，最后根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：∵是△ABC的内心，∠BAC=60°，
∴∠BOC=180°-$\frac{180°-60°}{2}$=120°，
由余弦定理可得BC²=OC²+OB²-2OC•OB•cos120，
即OC²+OB²=1-OC•OB，
又OC²+OB²≥2OC•OB，
∴OC•OB≤$\frac{1}{3}$，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•OB•sin120°≤$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
则△BOC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，属于基础题