Question

17．若$α，β∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，且αsinα-βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²其中正确的序号是：④．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，判断函数f（x）为偶函数，利用f′（x）判断f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性，从而选出正确答案．

解答 解：根据题意，令f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为偶函数；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤$\frac{π}{2}$时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，
∴α²＞β²，④正确；
其他命题不一定成立．
故答案为：④．

点评 本题考查了正弦函数的单调性，解题时应构造函数f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，研究函数f（x）=xsinx的奇偶性与单调性解决问题，是难题．