Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{b{\;}^2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的△AF₁F₂中，满足∠AF₁F₂=$\frac{π}{12}，∠A{F_2}{F_1}=\frac{7π}{12}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁•k₂=k₃•k₄，求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）在△AF₁F₂中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁）．通过斜率乘积转化求解OB²+OC²的值即可．

解答 解：（1）在△AF₁F₂中，由正弦定理得：$\frac{{A{F_1}}}{{sin\frac{7π}{12}}}=\frac{{A{F_2}}}{{sin\frac{π}{12}}}=\frac{2}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$$A{F_1}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sin\frac{7π}{12}，A{F_2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sin\frac{π}{12}$，
所以$2a=A{F}_{1}+A{F}_{2=}\frac{4\sqrt{3}}{3}（sin\frac{7π}{12}+sin\frac{π}{12}）=\frac{4\sqrt{3}}{3}[sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）+sin（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）]=2\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{2}$，b=1，所以椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁）．
由${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{{y_2}^2-{y_1}^2}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}=\frac{{1-\frac{{{x_2}^2}}{2}-1+\frac{{{x_1}^2}}{2}}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}=-\frac{1}{2}$，
所以${k_3}{k_4}={k_1}{k_2}=-\frac{1}{2}$，即${k_3}•{k_4}=\frac{y_1}{x_1}\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}$，
于是有${x_1}^2•{x_2}^2=（2-2{y_1}^2）•（2-2{y_2}^2）=4{y_1}^2•{y_2}^2$，即${y_1}^2+{y_2}^2=1$
∴$O{B^2}+O{C^2}={x_1}^2+{y_1}^2+{x_2}^2+{y_2}^2=（2-2{y_1}^2）+{y_1}^2+（2-2{y_2}^2）+{y_2}^2=4-{y_1}^2-{y_2}^2=3$．

点评 本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．