Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为AB的中点．，
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）设点M在线段PD上，且PB∥平面MNC，若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M-NC-P的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，推导出AB⊥NC，AB⊥PN，从而AB⊥平面PNC，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）连结BD交NC于F，连结MF，推导出PB∥MF，从而PN⊥AB，进而PN⊥平面ABCD，以N为原点，分别以NB、NC、NP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-NC-P的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，
∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，又点N为AB的中点，
∴AB⊥NC，
又∵PA=PB，N为AB的中点，∴AB⊥PN，
又NC∩PN=N，∴AB⊥平面PNC，
又PC?平面PNC，∴AB⊥PC．
解：（Ⅱ）连结BD交NC于F，连结MF，
∵PB∥平面MNC，PB?平面PBD，平面PBD∩平面MNC=MF，
∴PB∥MF，
由（Ⅰ）知PN⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，交线是AB，
∴PN⊥平面ABCD，
以N为原点，分别以NB、NC、NP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），N（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{NC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
设平面MNC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴PB∥MF，∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
由（Ⅰ）知AB⊥平面PNC，则取PNC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=30°，
∴二面角M-NC-P的大小为30°．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．