Question

4．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}}{{e}^{x}}$，直线y=$\frac{1}{e}$x为曲线y=f（x）的切线．
（1）求实数a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的较小值，设函数g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），若函数h（x）=g（x）-cx²为增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；
（2）y=f（x）和y=x-$\frac{1}{x}$的交点为（x₀，y₀），分别画出y=f（x）和y=x-$\frac{1}{x}$在x＞0的图象，可得1＜x₀＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x₀时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{ax}^{2}}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{a（2x{-x}^{2}）}{{e}^{x}}$，
设切点为（m，n），即有n=$\frac{{am}^{2}}{{e}^{m}}$，n=$\frac{1}{e}$m，
可得ame=e^m，①
由直线y=$\frac{1}{e}$x为曲线y=f（x）的切线，可得$\frac{a（2m{-m}^{2}）}{{e}^{m}}$=$\frac{1}{e}$，②
由①②解得m=1，a=1；
（2）函数g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），
由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．
对x-$\frac{1}{x}$在x＞0递增，设y=f（x）和y=x-$\frac{1}{x}$的交点为（x₀，y₀），
由f（1）-（1-1）=$\frac{1}{e}$＞0，f（2）-（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{2}$＜0，即有1＜x₀＜2，
当0＜x＜x₀时，g（x）=x-$\frac{1}{x}$，
h（x）=g（x）-cx²=x-$\frac{1}{x}$-cx²，h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x₀时恒成立，
即有2c≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，由y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$在（0，x₀）递减，
可得2c≤$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{3}}$①
当x≥x₀时，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
h（x）=g（x）-cx²=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-cx²，h′（x）=$\frac{2x{-x}^{2}}{{e}^{x}}$-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在x≥x₀时恒成立，
即有2c≤$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，由y=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，可得y′=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
可得函数y在（3，+∞）递增；在（x₀，3）递减，
即有x=3处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$②，
由①②可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$，解得c≤-$\frac{1}{{2e}^{3}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查新定义的理解和运用，单调性的运用，考查分类讨论的思想方法以及恒成立问题的解法，属于综合题．