Question

3．若圆C：x²+y²+2x+2y-7=0关于直线ax+by+4=0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为3．

Answer 1

分析 由已知得圆心C（-1，-1）在直线ax+by+4=0上，从而b=-a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：$\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}-9}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+9}$，由此能求出点（a，b）向圆所作的切线长的最小值．

解答 解：∵圆C：x²+y²+2x+2y-7=0可化简为：（x+1）²+（y+1）²=9
∴圆C的圆心为（-1，1），半径r=3
∵圆C：x²+y²+2x+2y-7=0关于直线ax+by+4=0对称，
∴圆心C（-1，-1）在直线ax+by+4=0上，
∴-a-b+4=0，即b=-a+4，
点（a，b）向圆所作的切线长为：$\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}-9}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+9}$，
∴当a=2时，点（a，b）向圆所作的切线长取得最小值3．
故答案为3．

点评 本题考查切线长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两点间距离公式的合理运用．