Question

6．直线l与函数y=cosx（x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]）图象相切于点A，且l∥CP，C（-$\frac{π}{2}$，0），P为图象的极值点，l与x轴交点为B，过切点A作AD⊥x轴，垂足为D，则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．

Answer 1

分析 设A（x₀，y₀），用x₀，y₀表示出B点坐标，代入向量的数量积公式计算即可．

解答 解：P（0，1），∴直线l的斜率k=k_PC=$\frac{2}{π}$，
设A（x₀，y₀），D（x₀，0），则y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=$\frac{2}{π}$，即-sinx₀=$\frac{2}{π}$，
∴y₀=cosx₀=$\sqrt{1-sin{{\;}^{2}x}_{0}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{{π}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{π}^{2}-4}}{π}$，
∴直线l的方程为y-y₀=$\frac{2}{π}$（x-x₀），
令y=0得x=x₀-$\frac{π}{2}$y₀，∴B（x₀-$\frac{π}{2}$y₀，0），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{π}{2}$y₀，y₀），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{π}{2}$y₀，0），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{{π}^{2}}{4}$y₀²=$\frac{{π}^{2}}{4}$×$\frac{{π}^{2}-4}{{π}^{2}}$=$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．
故答案为：$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，导数的几何意义，属于中档题．