Question

4．已知f（x）为定义在$（0，\frac{π}{2}）$上的函数，f'（x）是它的导函数，且$\frac{f'（x）}{tanx}＜f（x）$恒成立，则（　　）

• A． $f（\frac{π}{3}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$
• B． $f（\frac{π}{6}）＜\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$
• C． $f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• D． $f（\frac{π}{4}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其导函数的符号得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（ $\frac{π}{3}$），整理后即可得到答案．

解答 解：因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$＞0，
所以函数g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
对照选项，变形得A正确；
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．