Question

如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的

直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.

Answer 1

x+y-2=0

解析:

方法一（参数法）：设M的坐标为（x,y）.

若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.

若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,

令y=0得x=2-,则A点坐标为.

CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，

则B点坐标为，由中点坐标公式得M点的坐标为

                                           ①

消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1),

点M（1，1）在直线x+y-2=0上，

综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.

方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.

∵|MA|=|MC|，∴化简得x+y-2=0.

方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,

即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.