【题目】被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”,“灯者立方去其八角也”,如图所示,在棱长为的正方体
中,点
为棱上的四等分点.
(1)求该方灯体的体积;
(2)求直线和
的所成角;
(3)求直线和平面
的所成角.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)计算出八个角(即八个三棱锥)的体积之和,然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积;
(2)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出直线
和
的所成角;
(3)求出平面的法向量,利用空间向量法求出直线
和平面
的所成角的正弦值,由此可得出
和平面
的所成角的大小.
(1)在棱长为
的正方体
中,点
为棱上的四等分点,
该方灯体的体积:
;
(2)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
、
、
、
,
,
,
设直线和
的所成角为
,则
,
直线
和
的所成角为
;
(3),
,
,
,
设平面的法向量
,
则,得
,取
,得
,
设直线和平面
的所成角为
,则
,
直线
和平面
的所成角为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),其中
为直线
的倾斜角.以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若点的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,求
两点间的距离
的值.
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【题目】已知关于的不等式
,下列结论正确的是( )
A.当时,不等式
的解集为
B.当,
时,不等式
的解集为
C.当时,不等式
的解集可以为
的形式
D.不等式的解集恰好为
,那么
E.不等式的解集恰好为
,那么
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【题目】已知函数f(x)=|x-3|-|x+1|.
(1)求f(x)的值域;
(2)解不等式:f(x)>0;
(3)若直线y=a与f(x)的图像无交点,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
是矩形,面
底面
,且
是边长为
的等边三角形,
在
上,且
面
.
(1)求证: 是
的中点;
(2)在上是否存在点
,使二面角
为直角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
①等式f(-x)=-f(x)在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-1,1);
③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
④方程f(x)=x在R上有三个根.
其中正确结论的序号有______.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
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【题目】某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表
高三 | 高二 | 高一 | |
女生 | 100 | 150 | z |
男生 | 300 | 450 | 600 |
按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人,其中高三有10人.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1名女生的概率;
(3)用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下:9.4,8.6,9.2, 9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8人的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
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