Question

（2011•徐州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）²+y²=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连接QM，QN，分别交直线x=t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

Answer 1

分析：（1）利用线段的垂直平分线的性质和椭圆的定义即可得出；
（2）设M（x₀，y₀），则N（-x₀，-y₀），由Q（2，0），可分别表示出QM，QN的斜率，利用点斜式即可得到直线QM，QN的方程，进而即可得到点E，F的纵坐标，再利用点M，N在椭圆上，满足椭圆的方程即可得出．

解答：解：（1）连接RA，由题意得，|RA|=|RP|，|RP|+|RB|=4，
∴|RA|+|RB|=4＞|AB|=2，
由椭圆定义得，点R的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₀，y₀），则N（-x₀，-y₀），QM，QN的斜率分别为k_QM，k_QN，
则kQM=

y0

x0-2

，kNQ=

y0

x0+2

，
∴直线QM的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，直线QN的方程y=

y0

x0+2

(x-2)，
令x=t（t≠2），则y1=

y0

x0-2

(t-2)，y2=

y0

x0+2

(t-2)，
又∵（x₀，y₀）在椭圆

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，
∴y1•y2=

y 2 0

x 2 0 -4

(t-2)2=

(3- 3 4 x 2 0 )(t-2)2

x 2 0 -4

=-

3

4

(t-2)2，其中t为常数．

点评：熟练掌握线段的垂直平分线的性质和椭圆的定义及其性质、直线的斜率计算公式和点斜式等是解题的关键．