Question

（2011•徐州模拟）过点P（5，4）作直线l与圆O：x²+y²=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为

y=4或40x-9y-164=0

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：当直线l的斜率为0时，经检验符合题意，并由OQ为P纵坐标，利用垂径定理及勾股定理求出MN的长，即为AB的长；当直线l斜率不为0时，设为k，表示出直线l方程，由AB长求出AC长，利用勾股定理求出OC的长，即为圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意直线l的方程．

解答：解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，
由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，
根据勾股定理得：QM=

OM2-OQ2

=3，
∴MN=2QM=6，
此时直线l方程为y=4，符合题意；
当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y-4=k（x-5），即kx-y+4-5k=0，
由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=

1

2

AB=3，
过O作OC⊥AB，连接OA，
根据勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=4，
∴圆心O到直线l的距离d=

|4-5k|

1+k2

=4，解得：k=0（舍去）或k=

40

9

，
则此时直线l的方程为

40

9

x-y+4-5×

40

9

=0，即40x-9y-164=0，
综上，直线l的方程为y=4或40x-9y-164=0．
故答案为：y=4或40x-9y-164=0

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线的一般式方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，坐标与图形性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．