Question

已知数列{a_n}，a₁=a，且an+1+2an=2n+1(n∈N*)．
（1）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（2）数列{a_n}能为等比数列吗？若能，试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差数列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出实数a的值．
（2）因为an+1+2an=2n+1(n∈N*)，所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}能为等比数列的充要条件．

解答：解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
得a=

8

9

，
故实数a的值为

8

9

．
（2）∵an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，
∴

an

2n

-

1

2

=(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1，
∴an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1]，
∴

an+1

an

=

2n+1[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n]

2n[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1]

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}为等比数列?

an+1

an

为常数，
∴当且仅当a=1时，

an+1

an

=2为常数．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．