Question

已知函数=，

（1）求函数的单调区间

（2）若关于的不等式对一切（其中）都成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正实数，使？若不存在，说明理由；若存在，求取值的范围

 

Answer 1

【答案】

（1）单调递增区间是（），单调递减区间是（2）时，；时，；时，（3）当时，，此时

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，，令，得

	（）
	＋		＿
	增		减

所以的单调递增区间是（），单调递减区间是  3分

（２）∵不等式对一切（其中）都成立，

∴对一切（其中）都成立 即时，

∵

①当时，即时，在上单调递增，＝＝

②时，在上单调递减，＝＝

③，即时，在上单调递增，上单调递减，

＝＝

综上，时，；时，；时， 9分

（３）存在  10分

即，

＝在上有两个不同点的函数值相等

∵在（）单调递增，在上单调递减

当时，，时，，数形结合知

当时，，此时

考点：函数单调性最值及数形结合法

点评：求函数单调区间通常利用导数的正负解决，第二问中将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，这是常用的转化思路，但要注意分情况讨论得到不同的最值，第三问对于条件指数式将其转化为对数式从而和已知函数发生联系，这种转化学生可能不易想到