【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=1,Sn+1﹣2Sn=1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=n+ ,求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:a1=1,Sn+1﹣2Sn=1,
即为Sn+1+1=2(Sn+1),
即有数列{Sn+1}是以S1+1=2,2为公比的等比数列,
则Sn+1=22n﹣1=2n,
即Sn=2n﹣1,n∈N*,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,
上式对n=1也成立,
则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1,n∈N*
(2)解:bn=n+ =n+n( )n﹣1,
前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+[11+2( )+3( )2+…+n( )n﹣1],
设Mn=11+2( )+3( )2+…+n( )n﹣1,
Mn=1 +2( )2+3( )3+…+n( )n,
相减可得, Mn=1+ +( )2+( )3+…+( )n﹣1﹣n( )n
= ﹣n( )n,
化简可得Mn=4﹣(n+2)( )n﹣1,
则Tn= n(n+1)+4﹣(n+2)( )n﹣1
【解析】(1)由题意可得Sn+1+1=2(Sn+1),即有数列{Sn+1}是以S1+1=2,2为公比的等比数列,运用等比数列的通项公式和数列的递推式,可得所求通项公式;(2)求出bn=n+ =n+n( )n﹣1 , 运用数列的求和方法:分组求和和错位相减法,结合等差数列和等比数列的求和公式,化简计算即可得到所求和.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系),还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数 在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且2asinB﹣ bcosA=0.
(1)求cosA;
(2)若a= ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】设函数f(x)=(ex﹣1)(x﹣1)k , k∈N* , 若函数y=f(x)在x=1处取到极小值,则k的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知数列{bn}满足bn=| |,其中a1=2,an+1= .
(1)求b1 , b2 , b3 , 并猜想bn的表达式(不必写出证明过程);
(2)由(1)写出数列{bn}的前n项和Sn , 并用数学归纳法证明.
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【题目】将A、B两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问:
(1)共有多少种不同的结果?
(2)两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种?
(3)两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少?
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【题目】某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中几录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几 组对应数据如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | a |
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则表中a的值为( )
A.3
B.3.15
C.3.5
D.4.5
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【题目】已知点A(0,2),B(4,6), =t1 +t2 ,其中t1、t2为实数;
(1)若点M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范围;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何值,A、B、M三点共线;
(3)若t1=a2 , ⊥ ,且△ABM的面积为12,求a和t2的值.
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