Question

【题目】已知函数.

(1)当时, 恒成立,求的取值范；

(2)若函数有两个极值点,且,求证: .

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：(1) )当时, 恒成立即求 的最小值大于等于零即可求出求的取值范围；(2)，令,对a分类讨论，只有时满足题意，易知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增， ，构造新函数研究最值即可.

详解：（1）【解法一】

，

设

①时，在上单调递减，

，不合题意，舍；

②当时，

（i）若，即时，当在上单调递增，，符合题意；

（ii）若，即时，当时，单调递减：当时，，单调递增；

，不合题意，舍；

综上：；

【解法二】

若,而,不合题意,故；

易知: ,,

设，，

若,即时, 在上单调递增,

,在上单调递增,

,符合题意；

若,即时, 在上是单调递增函数，

令,记，当时, ，

在上是单调递减函数,

,在上是单调递减函数，

,不合题意:

综上: ；

(2)【解法一】

, ，

设,

若,,

在上单调递增,不合题意:当时, ，

在上只有一个根,不合题意:

当时, ,要使方程有两个实根，

只需即，

，，

在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；

在处取得极大值,在处取得极小值,符合题意；

设，， ，

在上是增函数,

.

【解法二】

， ，

设,

若，，

在上单调递增,不合题意；

当时, ,

在上只有一个根,不合题意；

当时, ,要使方程有两个实根,

只需，即

，，，

在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；

在处取最大值，在处取最小值，符合题意；

，

设，则，，

设 ， ，

在单调递增，

.