Question

16．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{7a}_{n}-2}{{2a}_{n}+3}$，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以1为首项，$\frac{2}{5}$为公差的等差数列，求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}的通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{7a}_{n}-2}{{2a}_{n}+3}$，得${a}_{n+1}-1=\frac{7{a}_{n}-2-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+3}=\frac{5{a}_{n}-5}{2{a}_{n}+3}$=$\frac{5（{a}_{n}-1）}{2{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{2{a}_{n}+3}{5（{a}_{n}-1）}=\frac{2（{a}_{n}-1）+5}{5（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}+\frac{2}{5}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{2}{5}$为定值．
又a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以1为首项，$\frac{2}{5}$为公差的等差数列．
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+\frac{2}{5}（n-1）=\frac{2n+3}{5}$，
∴${a}_{n}=1+\frac{5}{2n+3}=\frac{2n+8}{2n+3}$．

点评 本题考查等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，属中档题．