Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点P （1，

3

2

），离心率e=

1

2

，右顶点为A，右焦点为F．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若经过F的直线l（不与x轴重合）交椭圆E与B，C两点，延长BA，CA，分别交右准线于M，N两点．求证：FN⊥FM．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点P （1，

3

2

），离心率e=

1

2

，确定椭圆的几何量，即可求椭圆E的标准方程；
（2）分类讨论，确定直线BA、CA的方程，求出M、N的坐标，利用验证向量的数量积为0，即可证得结论．

解答：（1）解：由题意，∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点P （1，

3

2

），离心率e=

1

2

，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

∵a²=b²+c²
∴a²=4，b²=3
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）证明：由（1）知，A（2，0），F（1，0），右准线方程为x=4．
当直线l与x轴垂直时，l方程为x=1，可得B，C两点坐标分别为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)．
所以直线BA方程为

y-0

3 2 -0

=

x-2

1-2

，当x=4时，得y=-3，即M（4，-3）；
直线CA方程为

y-0

- 3 2 -0

=

x-2

1-2

，当x=4时，得y=3，即N（4，3）．
因此

FM

=(3，-3)，

FN

=(3，3)
∴

FM

•

FN

=3×3+(-3)×3=0，即FN⊥FM．…（8分）
当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由题意得

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，解之得x=

4k2±6 k2+1

4k2+3

，代入直线l方程得
B（

4k2+6 k2+1

4k2+3

，

6k k2+1 -3k

4k2+3

），C（

4k2-6 k2+1

4k2+3

，

-6k k2+1 -3k

4k2+3

）．…（10分）
直线BA方程为

y-0

6k k2+1 -3k 4k2+3 -0

=

x-2

4k2+6 k2+1 4k2+3 -2

，
当x=4时，得M（4，

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

），所以

FM

=（3，

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

）．…（12分）
同理可求得

FN

=（3，

6k k2+1 +3k

3 k2+1 +2k2+3

）． …（14分）
∴

FM

•

FN

=9+

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

•

6k k2+1 +3k

3 k2+1 +2k2+3

=9+

36k4+27k2

-4k4-3k2

=0，
∴FN⊥FM．
综上，对于任意与x轴不重合的直线l，都有FN⊥FM．…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的综合能力，难度较大．