Question

【题目】已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．

（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；

（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段长度的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值

【解析】

试题（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即：

，当时，AB有最小值

试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,

所以MP＝，解得

所以4分

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，

其方程为：

即

由， 7分

解得或，所以圆过定点9分

（Ⅲ）因为圆方程为

即①

圆：，即②

②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：

11分

点M到直线AB的距离13分

相交弦长即：

当时，AB有最小值16分